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普通函数

• $y = C$ 特殊的线性函数，常值函数
• $y = x$ 特殊的线性函数，称为 恒等函数 或 身份函数
• $y = mx + b $ 线性函数
• $y = \frac{1}{x} $
• $y = x^2$
• $y = \sqrt{x} $ 平方根函数

• $y = a^x$ (当0< $a$ < 1时； 当$a$ = 1时；当$a$ > 1时) 指数函数的一种形式，其中$a$ 是底数，$x$ 是指数
• $y = e^x$ 自然指数函数
• $y = \log_{a} x $ 对数函数 (当$a$ > 1 时；当 0 < $a$ < 1 时)
• $y = \ln(x) $ 自然对数函数(以 $e$ 为底的对数，通常记为 $lnx$)

1. 线性函数

线性函数的定义和区别：

• 线性函数的图形是直线，而非线性函数的图形可以是曲线、折线或其他形状，取决于具体的函数形式。

1.1 特性

一次关系、可加性、简单性(线性函数简单易懂，容易计算，且具有明确的解释)

• 均匀性
  线性函数满足均匀性或齐次性原则
  即如果将所有输入值乘以一个常数 $k$ ，输出也将乘以 $k$。数学上，这意味着 $ y = mx + b = kmx + kb = k\left(\frac{y}{b}\right) $

• 叠加性
  即多个输入的线性组合可以通过分别计算每个输入的线性函数然后相加得到。也就是说，$ y = m(x_1 + x_2) + b = mx_1 + mx_2 + b $

2. 指数函数

指数函数是典型的非线性函数，因为它不满足线性函数的叠加性和均匀性原则。

2.1 底数的影响

底数 $ a $ 的值影响函数的增长或衰减速率。

2.2 特殊案例

• 当 $a$ = 1 时，函数退化为常数函数 $y$ = 1.
• 当 $a$ = $e$(自然对数的底数) 时，函数是自然指数函数 $y = e^x$.

2.3 微积分

…

三角函数

• $sin x$
• $cos x$
• $tan x$

反三角函数

S曲线

• $\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $ sigmoid函数。其中 $e$ 是自然对数的底。这个函数的输出范围在0到1之间，常用于二元分类问题中作为激活函数。
• $\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} $ 双曲正切函数。这个函数的输出范围在 -1 到 1 之间，是Sigmoid函数的另一种形式，通常用于神经网络中的隐藏层。
• $\arctan(x) $ 这个函数的输出范围是从 $ -\frac{2}{\pi} $ 到 $ \frac{2}{\pi} $
• $y = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $ 代数函数