数学背景： 函数与极限(数列与极限).

导数概念

在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，表示函数在该点附近的局部变化情况。

1. 导数定义

导数是函数对其自变量的变化率或斜率的度量。

给定一个函数 $f(x)$，它的导数 $f’(x)$ 或 $ \frac{df}{dx} $ 在某一点 $x$ 处的定义如下：
$ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $
这个极限表示当自变量 $x$ 的增量 $h$ 趋近于零时，函数在点 $x$ 处的平均变化率的极限 (函数值$f(x + h)的变化量与 $h$ 的比率$)。
$h$即自变量的增量 $ \delta x $，是一个趋近于零的实数。

导数告诉我们函数在 $x$ 处的瞬时变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。

另一种常见的表示形式是利用微分符号 $dx$ 来表示导数，即：
$ f’(x) = \frac{df}{dx} $
这表示函数 $f(x) $ 相对于自变量 $x$ 的变化率。

tips: $h$ 是在定义导数时用来表示自变量 $x$ 的微小变化量，是一个无限接近于0的数。 $dx$ 是微积分中用来表示自变量$x$的微小变化量的标志，通常与微分和积分相关的符号一起使用

2. 导数的集合意义

导数$ f’(x) $ 在 何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点$ M(x_0, f(x_0)) $ 处的切线的斜率，即
$ f’(x_0) = tan a $

3. 函数可导性与连续型的关系

可导 比连续. 连续不一定可导.

函数在某点连续 是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件.

4. 多变量函数的导数

对于多变量函数 $f(x)$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 是一个包含 $n$ 个自变量的向量，其导数有两种常见的形式：偏导数和全导数。

4.1 偏导数(Partial Derivatives)

偏导数是多变量函数在某一点关于其中一个自变量的导数。偏导数用 $ \frac{\partial f}{\partial x_i} $ 表示，表示函数 $f$关于 $x_i$ 的变化率，而将其他自变量视为常数。

4.2 梯度(Gradient)

梯度是多变量函数的导数的一种推广，它是一个向量，包含函数对所有自变量的偏导数。

• 梯度 $\nabla f(\mathbf{x}) $ 是一个向量，其分量表示了函数 $f(x)$ 在每个方向上的变化率。

梯度用符号 $\nabla f(\mathbf{x})$ 表示，定义为：
$ \nabla f(\mathbf{x}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) $

梯度 $\nabla f(\mathbf{x})$ 指示了函数 $f$ 在点 $ \mathbf{x} $ 处的最大变化率方向。它的方向是函数在该点上升最快的方向，而其模长则是这个方向上的变化率。

tips: 在数学和物理中，模长（Magnitude）通常指的是一个向量的长度或大小，也称为向量的模或向量的大小。
它是一个标量，用于表示向量的大小，而不考虑其具体的方向。

• 换句话说，沿着梯度的方向，函数值 $f(x)$ 的变化速率是最快的，而这个速率就是梯度的模长。