线性代数的定义

对于线性代数中的线性理解一直比较模糊。大学数学学科，线性代数是最为抽象的一门课。

从中学的初等数学和初等物理一路走来，很少人去怀疑一门数学学科是不是自然规律，当学习微积分、概率统计时也从来没有怀疑过，唯独线性代数它的各种符号和运算规则太抽象太奇怪，完全对应不到生活经验。

线性代数可以理解为一门工具，通过建立的一套模型并通过符号系统完成语法和语义的映射，方便解决线性空间的几何问题。实际上，向量、矩阵、运算规则的语法和语义都是人为的设计，这和一门语言中的各种概念性质相同，它是一种创造，但是前提是必须满足语言契约。

不像初等数学，概率论，微积分都包含着一种自然现象。从应用的角度看，线性代数是一种人为设计的领域特定语言（DSL）.

线性代数好在哪里？线性代数的核心：向量模型。

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我们在初等数学中学习的坐标系属于笛卡尔所提出的解析模型，这个模型很有用，但同时也有很大的缺点。坐标系是人为加上的虚拟参考系，但是我们要解决的问题，比如求面积，图形旋转、拉伸等应用都是和坐标系无关的，建立一个虚拟的坐标系往往无助于解决问题，刚才三角形面积的例子就是这样。

向量模型很好地克服了解析模型的缺点，如果说解析模型代表了某种“绝对性”的世界观，那么向量模型就代表了某种“相对性”的世界观，我推荐把向量模型和解析模型看作对立的两种模型。

向量模型中定义了向量和标量的概念。向量具有大小和方向，满足线性组合法则；标量是只有大小没有方向的量（注：标量的另一种更深刻的定义是在旋转变换下保持不变的量）。向量模型的优点之一是其坐标系无关性，也就是相对性，它在定义向量和运算规则的时候从一开始就抛开了坐标系的束缚，不管你坐标轴怎么旋转，我都能适应，向量的线性组合、内积、叉积、线性变换等等运算全部都是坐标系无关的。注意，所谓坐标系无关性不是说就没有坐标系了，还是有的，刚才三角形例子的顶点就是用坐标表示的，只是在解决问题的时候不同的坐标系不会构成影响。用一个比喻，Java号称平台无关，不是说Java就是空中楼阁，而是说你用Java编程时底层是Linux还是Windows往往对你没有影响。