微分学|第一支柱
一、极限
1.1 极限、连续
（1）函数
函数概念: 函数概念的实质是变量之间确定的对应关系
变量之间是否有函数关系，就看是否存在一种对应规则，使得其中一个量或几个量定了，另一个量也就被唯一确定
(前者是一元函数，后者是多元函数)
常见的函数:单调函数、奇偶函数、周期函数、有界函数
符合函数与反函数:
常见的函数形式:
微积分中研究的对象是函数。 重要的函数前提： 三角函数、幂函数、指数函数
tips： 函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数、函数记号的运算、基本初等函数 与其图象、初等函数的概念等.
（2）极限
极限是微积分的理论基础
tips： 函数的连续、导数、定积分等核心性质的定义与研究，均以‘极限’为底层工具和逻辑基础
定义和性质
「定义」
- 数列极限定义； 数列存在极限，则称数列收敛，否则称数列发散。
- 函数2个极限定义（x一个趋于无穷大、一个趋于x0）
- 数列极限与函数极限的1个不同
tips：极限表达式中，2 是函数 f(x) 当自变量 x 无限趋近于 1 时的极限
「基本性质」
极限的不等式性质：本质是 2个极限的大小关系会‘传递’给2个对应函数（或数列）的大小关系
「局部不等推极限不等； 极限不等推局部不等(保号性延时)」推论：极限的保号性 保号性 就是拿极限的符号，推函数值的符号
「核心逻辑：“极限的符号→局部的符号”」
「两个重要极限」
1、 三角函数的无穷小：
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
2、 自然常数 $e$ ：「本质：描述了 连续复利增长(如人口增长、放射性衰变)」
$
\lim{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e \quad \text{或等价形式} \quad \lim{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
$
变体形式：「对数极限」
$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
\quad \text{（ } x \to 0^+ \text{ 也成立）}
$
由$e$的极限变形：$
\ln(1 + x) = t \Rightarrow x = e^t - 1 \xrightarrow{x \to 0} \lim{t \to 0} \frac{t}{e^t - 1} = \frac{1}{\lim{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t}} = \frac{1}{1} = 1
$
极限存在性判别
「夹逼定理」
「单调有界数列必收敛定理」
（3）无穷小
无穷小及其比较
- 无穷小运算、 等价无穷小
（4）连续型
函数的连续性及其判断
连续函数的性质
1.2 求极限的方法
（1）求函数极限
「1、四则运算法则」
前提是：极限存在且有限。 加减乘除类似数的运算
「2、幂指数运算法则」
$ \lim{x \to a} f(x) = A > 0, \quad \lim{x \to a} g(x) = B \implies \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = A^B \quad (A > 0) $
「3、利用函数的连续性求极限」
核心依据： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \quad (\text{若 } f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 处连续})$
「4、利用变量替换法与两个重要极限求极限」
「5、利用洛必达法则求未定式的极限」
洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是微积分中用于求解不定式极限的重要工具，
尤其适用于直接代入无法计算的极限问题（如 $ \frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty} $ 型)。
核心思想是通过对分子和分母分别求导，将原极限转化为更易计算的导数极限.
$ \lim{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} $
tips： 常见的 “不定式”（如： $ 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0$）， 需先通过代数变形转化为基础的基本不定式，再应用洛必达法则.
tips： 不定式：无法直接确定极限结果；结果 “不确定”，需进一步分析.
「6、分别求左、右极限求得函数极限」
- 直接用运算法则（四则运算，幂指数运算，代入法）
- 未定式（恒等变形相消后代入、洛必达法则、变量替换与重要极限、泰勒公式、等价无穷小因子替换）
其他未定式(转化为2 - 0/0型 或 无穷大/无穷大型) - 分别求左、右极限
（2）求数列极限
「1、利用函数极限求数列极限」
1、递归数列
2、n项和的数列
3、n项积的数列(恒等变形,转化为n项和)
4、一般情形(转化为函数极限，恒等变形，夹逼法)